Ces travaux ont permis d'établir que le théorème de Goldstone n'était pas valable pour une symétrie locale. Dans le cas d'une symétrie locale, un calcul rigoureux montre en effet que le degré de liberté associé au boson de Goldstone est absorbé par le boson de jauge, qui acquiert ainsi une masse. De même, le couplage des particules matérielles au champ de Higgs donne un terme analogue à un terme de masse. La masse d'une particule est donc déterminée par l'intensité de son couplage au champ de Higgs.
Illustrons ceci de façon plus concrète, dans une théorie de type Yang-Mills on introduit l’analogue de l’équation du potentiel vecteur du champ électromagnétique (), que l’on va noter ici . Ce nouveau champ correspond a une connexion et permet de définir une opération de dérivation covariante :
Si il y avait un terme de masse, on aurait une équation de type Proca (cf. b1, b2). Or, on l’a vu, ceci ne peut se faire aussi simplement sans introduire des quantités infinies non renormalisables.
L’astuce est d’introduire un champ scalaire décrivant une particule, le fameux boson de Higgs.
Maintenant, les équations des champs en physique des particules sont dérivées d’une fonction mathématique appelée lagrangien. Il existe, par exemple, un lagrangien pour les équations de Maxwell du champ électromagnétique. On peut voir clairement que lorsqu’on effectue certaines transformations sur les variables de champs celui-ci reste invariant, et cela implique alors des lois de conservations comme celle de la charge.
On a alors un théorème général pour les lagrangiens d’équations de champ, dit théorème de Noether, qui relie les invariances de ces lagrangiens à des quantités conservées, comme par exemple des isospins pour les équations de Yang Mills.
Lorsqu’on écrit le lagrangien L d’un champ scalaire, on obtient une expression de la forme suivante : : L = où peut être considéré en première approximation comme la fonction d’onde dont on a parlé précédemment (on somme de 0 à 3 sur les indices, c’est la convention d’Einstein).
Une transformation de jauge correspond à un déphasage donné dans ce cas simple par :
On assure l’invariance du lagrangien du système champ de Higgs+champ de Yang-Mills en utilisant les dérivées covariantes dont on a déjà parlé.
La substitution donne alors : L=
Où l’on a tenu compte du fait que est un champ complexe. En développant l’expression apparaît « magiquement » le terme :
Ainsi lorsque n’est pas nul, le facteur est équivalent à une masse pour le champ, ce qui nous donne une masse pour un boson W. A partir du lagrangien on obtient alors l’équation décrivant le champ de ce boson W.
Elle s’écrit :
On peut montrer que la renormalisabilité de la théorie est assurée et l’on a donc introduit une masse pour nos bosons responsables de forces nucléaires.
C’est tout à fait similaire à l’apparition de masses pour les photons dans un plasma ou dans les phénomènes de supraconductivité comme l’effet Meissner, rien d’étonnant alors à ce que ce soit des gens travaillant en physique de la matière condensée qui en ont eu l’idée.
Un point clé reste à éclaircir, pourquoi le champ a-t-il une valeur non nulle dans le vide ? Pour cela il nous faut introduire un potentiel d’auto interaction du champ, de la forme donnée par le graphique suivant.